Η δημοτικότητα των μαγικών τετραγώνων έχει αυξηθεί μόνο με την έλευση μαθηματικών παιχνιδιών όπως το sudoku. Ένα μαγικό τετράγωνο είναι μια διάταξη αριθμών σε ένα τετράγωνο έτσι ώστε το άθροισμα κάθε σειράς, στήλης και διαγώνιου να έχει έναν σταθερό αριθμό - τη λεγόμενη "μαγική σταθερά". Αυτό το άρθρο θα σας δείξει πώς να λύσετε κάθε είδους μαγικό τετράγωνο, είτε πρόκειται για περιττούς, είτε για ζυγούς αριθμούς είτε για διπλούς ζυγούς αριθμούς.
βήματα
Μέθοδος 1 από 3: Επίλυση ενός περίεργου μαγικού τετραγώνου
Βήμα 1. Υπολογίστε τη μαγική σταθερά
Βρίσκετε αυτόν τον αριθμό χρησιμοποιώντας έναν απλό μαθηματικό τύπο, όπου n = αριθμός γραμμών ή στηλών στο μαγικό τετράγωνο. Έτσι, ένα μαγικό τετράγωνο με πλευρά 3x3 θα έχει n = 3. Ο τύπος για τη μαγική σταθερά είναι = [n * (n2 + 1)] / 2. Στο παράδειγμα του τετραγώνου με πλευρά 3x3:
- Άθροισμα = [3 * (32 + 1)] / 2.
- Άθροισμα = [3 * (9 + 1)] / 2.
- Άθροισμα = (3 * 10) / 2.
- Άθροισμα = 30/2.
- Η μαγική σταθερά για ένα πλαϊνό τετράγωνο 3x3 είναι 30/2 ή 15.
- Το άθροισμα όλων των γραμμών, στηλών και διαγωνίων πρέπει να δίνει αυτόν τον αριθμό.
Βήμα 2. Ορίστε το τετράγωνο 1 ως το μέσο της επάνω σειράς
Είναι εκεί που θα ξεκινάτε πάντα όταν το μαγικό τετράγωνο έχει παράξενες πλευρές, ανεξάρτητα από το μέγεθός του. Έτσι, εάν το τετράγωνό σας είναι 3x3 πλάγια, ορίστε τον αριθμό 1 στο 2ο τετράγωνο. αν το τετράγωνο είναι 15x15, ορίστε τον αριθμό 1 στο τετράγωνο 8.
Βήμα 3. Συμπληρώστε τους υπόλοιπους αριθμούς ακολουθώντας το μοτίβο ένα προς τα επάνω και ένα προς τα δεξιά
Θα πρέπει πάντα να συμπληρώνετε τον αριθμό με τη σειρά (1, 2, 3, 4 κ.λπ.), ανεβαίνοντας πρώτα μία σειρά και μετά μετακινώντας μία στήλη προς τα δεξιά. Θα παρατηρήσετε αμέσως ότι για να ορίσετε τον αριθμό 2, θα πρέπει να περάσετε την πάνω σειρά έξω από το μαγικό τετράγωνο. Κανένα πρόβλημα: αν και είναι πάντα δυνατό να εργαστείτε με αυτόν τον τρόπο "ένα επάνω και ένα δεξιά", υπάρχουν τρεις εξαιρέσεις που έχουν επίσης ένα μοτίβο:
- Εάν η ακολουθία τελειώσει ένα "τετράγωνο" πάνω από την επάνω σειρά του μαγικού τετραγώνου, συνεχίστε σε αυτήν τη σειρά, αλλά ορίστε τον αριθμό στην κάτω σειρά αυτής της στήλης.
- Εάν η ακολουθία τελειώνει με ένα "τετράγωνο" στα δεξιά της δεξιάς στήλης του μαγικού τετραγώνου, συνεχίστε σε αυτό, αλλά ορίστε τον αριθμό στην αριστερή στήλη αυτής της σειράς.
- Εάν η ακολουθία τελειώνει σε ένα ήδη αριθμημένο τετράγωνο, επιστρέψτε στο τελευταίο τετράγωνο που ήταν ήδη αριθμημένο και ορίστε τον επόμενο αριθμό στο τετράγωνο ακριβώς κάτω από αυτό.
Μέθοδος 2 από 3: Επίλυση ενός ομοιόμορφου μαγικού τετραγώνου
Βήμα 1. Μάθετε τι είναι ένα απλό ζυγό τετράγωνο
Όλοι γνωρίζουν ότι ένας άρτιος αριθμός διαιρείται με το 2. στα μαγικά τετράγωνα, ωστόσο, υπάρχουν διαφορετικές μέθοδοι για την επίλυση μονών και διπλών άρτιων τετραγώνων.
- Σε ένα ζυγό τετράγωνο, κάθε πλευρά έχει έναν αριθμό τετραγώνων διαιρούμενο με 2, αλλά όχι 4.
- Το μικρότερο δυνατό μονό τετράγωνο έχει πλευρά 6x6, αφού δεν υπάρχουν μαγικά τετράγωνα με πλευρά 2x2.
Βήμα 2. Υπολογίστε τη μαγική σταθερά
Πάρτε την ίδια μέθοδο που χρησιμοποιείται με περίεργα μαγικά τετράγωνα: τη μαγική σταθερά = [n * (n2 + 1)] / 2, όπου n = τον αριθμό των κενών σε κάθε πλευρά. Έτσι, στο παράδειγμα του πλευρικού τετραγώνου 6x6:
- Άθροισμα = [6 * (62 + 1)] / 2.
- Άθροισμα = [6 * (36 + 1)] / 2.
- Άθροισμα = (6 * 37) / 2.
- Άθροισμα = 222 /2.
- Η μαγική σταθερά για ένα πλευρικό τετράγωνο 6x6 είναι 222/2 ή 111.
- Το άθροισμα όλων των γραμμών, στηλών και διαγωνίων πρέπει να δίνει αυτόν τον αριθμό.
Βήμα 3. Χωρίστε το μαγικό τετράγωνο σε τέσσερα ίσα τεταρτημόρια
Αξιολογήστε τα ως A (πάνω αριστερά), C (πάνω δεξιά), D (κάτω αριστερά) και B (κάτω δεξιά). Για να μάθετε το μέγεθος κάθε τετραγώνου, απλώς διαιρέστε τον αριθμό των κενών σε κάθε γραμμή ή στήλη στο μισό.
Έτσι, για ένα τετράγωνο 6x6, κάθε τετράγωνο θα έχει 3x3 τετράγωνα
Βήμα 4. Εκχωρήστε ένα όριο αριθμού σε κάθε τεταρτημόριο
Το τεταρτημόριο Α θα κρατήσει το ένα τέταρτο των αριθμών. το τεταρτημόριο Β θα πάρει το δεύτερο τρίμηνο. το τεταρτημόριο C θα έχει το τρίτο τρίμηνο και το τεταρτημόριο D θα πάρει το τελευταίο τέταρτο του συνόλου των αριθμών για ένα πλευρικό μαγικό τετράγωνο 6x6.
Στο τετράγωνο παράδειγμα 6x6, το τεταρτημόριο Α επιλύεται με τους αριθμούς 1 έως 9. τεταρτημόριο Β, με τους αριθμούς 10 έως 18. τεταρτημόριο C, με αριθμούς 19 έως 27. και τεταρτημόριο D, με τους αριθμούς από 28 έως 36
Βήμα 5. Λύστε κάθε τεταρτημόριο χρησιμοποιώντας τη μέθοδο περίεργα μαγικά τετράγωνα
Το τεταρτημόριο Α είναι απλό να συμπληρωθεί, καθώς ξεκινά από τον αριθμό 1, κάτι που συνήθως συμβαίνει με τα μαγικά τετράγωνα. Τα τεταρτημόρια Β έως Δ, ωστόσο, ξεκινούν με περιττούς αριθμούς - 10, 19 και 28 αντίστοιχα, σύμφωνα με το παράδειγμά μας.
- Αντιμετωπίστε τον πρώτο αριθμό σε κάθε τεταρτημόριο σαν να ήταν ο αριθμός 1. Θα βρίσκεται στο κεντρικό τετράγωνο της επάνω σειράς κάθε τεταρτημορίου.
- Αντιμετωπίστε κάθε τετράγωνο σαν να ήταν το δικό του μαγικό τετράγωνο. Ακόμα κι αν υπάρχει διαθέσιμο τετράγωνο σε παρακείμενο τεταρτημόριο, αγνοήστε το και χρησιμοποιήστε τον κανόνα "εξαίρεση" που ταιριάζει στην κατάσταση.
Βήμα 6. Δημιουργήστε Highlight A και Highlight D
Εάν έχετε δοκιμάσει να προσθέσετε τις στήλες, τις γραμμές και τις διαγώνιες τώρα, θα διαπιστώσετε ότι το άθροισμα δεν ισούται με τη μαγική σταθερά. Θα πρέπει να αλλάξετε μερικά τετράγωνα μεταξύ του άνω και του κάτω αριστερού τεταρτημορίου για να τελειώσετε το μαγικό τετράγωνο. Θα ονομάσουμε αυτές τις εναλλασσόμενες περιοχές Highlight A και Highlight D.
- Με ένα μολύβι, σημειώστε όλα τα τετράγωνα στην επάνω σειρά μέχρι να λάβετε τη μέση θέση του τετραγώνου στο τεταρτημόριο A. Έτσι, σε τετράγωνο 6x6, θα σημειώσετε μόνο το τετράγωνο 1 (που θα είχε τον αριθμό 8). σε τετράγωνο 10x10, ωστόσο, θα σημειώσετε τα τετράγωνα 1 και 2 (που θα είχαν τους αριθμούς 17 και 24 αντίστοιχα).
- Κάντε ένα τετράγωνο με τα τετράγωνα που μόλις ορίσατε ως την κορυφαία σειρά. Εάν σημειώσατε μόνο ένα τετράγωνο, το τετράγωνό σας θα είναι ακριβώς αυτό το τετράγωνο. Θα ονομάσουμε αυτήν την περιοχή Highlight A-1.
- Έτσι, σε ένα μαγικό τετράγωνο 10x10, το A-1 Highlight αποτελείται από τα τετράγωνα 1 και 2 στις σειρές 1 και 2, δημιουργώντας ένα τετράγωνο 2x2 στην επάνω αριστερή γωνία του τεταρτημορίου.
- Στη σειρά ακριβώς κάτω από την επισήμανση Α-1, παραλείψτε τον αριθμό στην πρώτη στήλη και, στη συνέχεια, σημειώστε όσα κουτάκια σε αυτήν όσα κάνατε για την επισήμανση Α-1. Θα ονομάσουμε αυτήν τη μεσαία σειρά Highlight A-2.
- Το Highlight A-3 είναι ένα τετράγωνο πανομοιότυπο με το A-1, αλλά τοποθετείται στην κάτω αριστερή γωνία του τεταρτημορίου.
- Τα κυριότερα σημεία A-1, A-2 και A-3 μαζί αποτελούν το Highlight A.
- Επαναλάβετε αυτήν τη διαδικασία στο τεταρτημόριο D, δημιουργώντας μια ίδια περιοχή Highlight. θα ονομάζεται Highlight D.
Βήμα 7. Ανταλλαγή επισημάνσεων Α και Δ
Είναι μια ανταλλαγή ένα προς ένα. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να αντικαταστήσετε τα τετράγωνα μεταξύ των τεταρτημορίων Α και Δ, χωρίς να αλλάξετε καθόλου τις παραγγελίες. Μόλις γίνει αυτό, το άθροισμα όλων των γραμμών, στηλών και διαγωνίων στο μαγικό τετράγωνο θα πρέπει να ισούται με τη μαγική σταθερά που υπολογίσατε.
Βήμα 8. Κάντε επιπλέον συναλλαγές για τυχόν μαγικά τετράγωνα μεγαλύτερα από 6x6
Εκτός από την εναλλαγή των Τεταρτημορίων Α και Δ που αναφέρθηκαν παραπάνω, πρέπει να κάνετε μια εναλλαγή μεταξύ των Τεταρτημόρων Γ και Β. Επισημάνετε τις στήλες στη δεξιά πλευρά του τετραγώνου προς τα αριστερά λιγότερο από τον αριθμό των στηλών που επισημαίνονται στο Highlight A-1. Αντικαταστήστε τις τιμές στο τεταρτημόριο C με τις τιμές στο τεταρτημόριο B σε αυτές τις στήλες, χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο μία προς μία.
-
Ακολουθούν δύο εικόνες ενός μαγικού τετραγώνου 14x14 πριν και μετά την πραγματοποίηση και των δύο ανταλλαγών. Η περιοχή ανταλλαγής Τεταρτημόριο Α επισημαίνεται με μπλε χρώμα. Η περιοχή ανταλλαγής Quadrant D επισημαίνεται με πράσινο χρώμα. Η περιοχή ανταλλαγής Τεταρτημόριο C επισημαίνεται με κίτρινο χρώμα. Η περιοχή ανταλλαγής τεταρτημόριου Β επισημαίνεται με πορτοκαλί.
-
14x14 Magic Square πριν τις ανταλλαγές (Βήματα 6, 7 και 8)
-
14x14 Magic Square μετά τις αλλαγές (Βήματα 6, 7 και 8)
-
Μέθοδος 3 από 3: Επίλυση διπλού ζεύγους Magic Square
Βήμα 1. Μάθετε τι είναι διπλό ζυγό τετράγωνο
Σε ένα μονό ζυγό τετράγωνο, κάθε πλευρά έχει έναν αριθμό χώρων διαιρούμενων με 2. Σε ένα διπλό ζυγό τετράγωνο, ο αριθμός των διαστημάτων ανά πλευρά διαιρείται με το διπλό - δηλαδή 4.
Το μικρότερο δυνατό τετράγωνο διπλού ζεύγους είναι τετράγωνο 4x4
Βήμα 2. Υπολογίστε τη μαγική σταθερά
Πάρτε την ίδια μέθοδο που χρησιμοποιείται με τα περίεργα και ακόμη και απλά μαγικά τετράγωνα: τη μαγική σταθερά = [n * (n2 + 1)] / 2, όπου n = τον αριθμό των κενών σε κάθε πλευρά. Έτσι, στο παράδειγμα τετράγωνης πλευράς 4x4:
- Άθροισμα = [4 * (42 + 1)] / 2
- Άθροισμα = [4 * (16 + 1)] / 2
- Άθροισμα = (4 * 17) / 2
- Άθροισμα = 68 /2
- Η μαγική σταθερά για ένα τετράγωνο 4x4 είναι 68/2, ή 34.
- Το άθροισμα όλων των γραμμών, στηλών και διαγωνίων πρέπει να δίνει αυτόν τον αριθμό.
Βήμα 3. Δημιουργήστε επισημάνσεις Α και Δ
Σε κάθε γωνία του μαγικού τετραγώνου, σημειώστε ένα μίνι τετράγωνο με πλευρές μήκους n/4, όπου n = το μήκος μιας πλευράς ολόκληρου του μαγικού τετραγώνου. Ονομάστε τα αντίθετα προς τα αριστερά Highlights A, B, C και D.
- Σε πλαϊνό τετράγωνο 4x4, απλώς σημειώστε τα τέσσερα γωνιακά τετράγωνα.
- Σε τετράγωνη όψη 8x8, κάθε Highlight θα είναι μια περιοχή 2x2 στις γωνίες.
- Σε ένα πλευρικό τετράγωνο 12x12, κάθε Highlight θα είναι μια περιοχή 3x3 στις γωνίες κ.ο.κ.
Βήμα 4. Δημιουργία επισημάνσεων κέντρου
Σημειώστε όλα τα τετράγωνα στο κέντρο του μαγικού τετραγώνου σε τετραγωνική περιοχή μήκους n/2, όπου n = το μήκος της μιας πλευράς ολόκληρου του μαγικού τετραγώνου. Το κέντρο επισήμανσης δεν πρέπει σε καμία περίπτωση να επικαλύπτει τις επισημάνσεις Α και Δ, αλλά απλώς να αγγίζει τις γωνίες καθενός από αυτά.
- Σε πλαϊνό τετράγωνο 4x4, το Center Highlight θα είναι μια περιοχή 2x2 στο κέντρο.
- Σε πλαϊνό τετράγωνο 8x8, το Center Highlight θα είναι μια περιοχή 24x4 στο κέντρο κ.ο.κ.
Βήμα 5. Συμπληρώστε το μαγικό τετράγωνο, αλλά μόνο σε περιοχές Highlight
Ξεκινήστε συμπληρώνοντας τους αριθμούς στο μαγικό τετράγωνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά απαριθμήστε μόνο εάν το τετράγωνο πέσει σε Highlight. Έτσι, σε ένα σπίτι 4x4, θα συμπληρώσετε τα ακόλουθα τετράγωνα:
- 1 στο επάνω αριστερό τετράγωνο και 4 στο επάνω δεξί τετράγωνο.
- 6 και 7 στα κεντρικά τετράγωνα της σειράς 2.
- 10 και 11 στα κεντρικά τετράγωνα της σειράς 3.
- 13 στο κάτω αριστερό τετράγωνο και 16 στο κάτω δεξί τετράγωνο.
Βήμα 6. Συμπληρώστε το υπόλοιπο μαγικό τετράγωνο μετρώντας αντίστροφα
Βασικά, αυτό είναι το αντίστροφο του προηγούμενου βήματος. Ξεκινήστε από το επάνω αριστερό τετράγωνο. αυτή τη φορά, ωστόσο, αγνοήστε όλα τα τετράγωνα που εμπίπτουν στην περιοχή Highlight και συμπληρώστε τα τετράγωνα έξω από αυτήν την περιοχή σε ένα χρονόμετρο αντίστροφης μέτρησης. Ξεκινήστε με το υψηλότερο από αυτό το όριο αριθμών. Έτσι, σε ένα μαγικό τετράγωνο 4x4, πρέπει να συμπληρώσετε τον ακόλουθο τρόπο:
- 15 και 14 στα κεντρικά τετράγωνα της σειράς 1.
- 12 στο αριστερό τετράγωνο και 9 στο δεξί τετράγωνο της σειράς 2.
- 8 στο αριστερό τετράγωνο και 5 στο δεξί τετράγωνο της σειράς 3.
- 3 και 2 στα κεντρικά τετράγωνα της σειράς 4.
- Σε αυτό το σημείο, το άθροισμα όλων των στηλών, των γραμμών και των διαγωνίων πρέπει να ισούται με τη μαγική σταθερά που υπολογίσατε.